Ejercicios:



Permutaciones y Combinaciones [Soluciones (rtf)]:





Probabilidad:



1. Al tirar 2 dados (1 al 6 c/u), que tan probable es que sumen 7?

2. Si tiro una moneda 10 veces, que tan probable es que salgan 4 águilas?

3. Dada la siguiente tabla de probabilidades conjuntas, encuentra las siguientes probabilidades: P(x1), P(y2), P(x1 | y2).



y1
y2
y3
x1
0.1
0.2
0.1
x2
0.3
0.1
0.2


4. En el problema anterior, son x1 y x2 independientes?

5. Alguien tiene una, y solo una, de dos posibles enfermedades: tifoidea (T) o hepatitis (H). Hay dos posibles síntomas: dolor de cabeza (D) y fiebre (F), cada uno de los cuales puede ser verdadero (D, F) o falso (~D, ~F). Dados:
    P(T) = 0.6
    P(D|T) = 0.7
    p(D|~T) = 0.4
    P(F|T) = 0.9
    P(F|~T) = 0.5
    Describe el espacio de muestreo y completa las tablas de probabilidad.

6. Si generamos en  el grupo un comité al azar de 3 estudiantes, que probabilidad hay de que haya exactamente una mujer? Al menos una mujer? (asumiendo 60 alumnos, 40 hombres y 20 mujeres)

7. Si asumimos que la estatura de los estudiantes sigue una distribución gaussiana, con media 1.70 m y desviación estándar 0.10 m, que tan probable es que haya un estudiante de más de 1.90 m?

8. Demuestra por inducción la regla de la cadena

9. Que probabilidad hay de obtener hacer un “full” (de 5 cartas, 3 con el mismo número y 2 con el mismo número, diferente a las primeras. El poker se puede ver como 4 clases de elementos (figuras), cada clase numerada del 1 al 13.

10. En cierto lugar el clima se comporta estadisticamente de la siguiente manera: de 365 dias, 200 soleados, 60 nublados, 40 lluvia, 20 nieva, 20 tormenta, 10 graniza, 10 viento y 5 llovizna:
Si cada día se envia un mensaje con el clima, que información da para cada tipo de clima?
Cuál es el promedio de bits de información que da el mensaje?

Grafos:

1) Demuestra el teorema 1
2) Para el siguiente grafo (figura 1), determina:
a)Si existe una trayectoria de Euler
b) Si existe una trayectoria de Hamilton
c) Si el grafo es triangulado
d) Si no es triangulado, hazlo triangulado
e) Los cliques del grafo
3) Demuestra el teorema 2
4) Para los grafos en la siguiente figura (figura 2):
a) Encuentra los subgrafos de A que son  isomorfos a B
b) Triangula el grafo A y ordena los nodos de acuerdo a máxima cardinalidad
5) Encuentra la mejor ruta para el agente viajero en el siguiente mapa (figura 3)

(figuras en la presentación de la clase)

Inducción y recursión:

1) Demuestra que todo entero positivo n mayor a 2 es primo o producto de primos

2) Demostrar que: 
12 + 2
2 + … + n2 = n(n +1)(2n + 1) / 6, para n >= 1

3) Para el problema de las Torres de Hanoi encuentra una relación de recurrencia para el número de movimientos para mover n discos del poste 1 al 3

4) Para la siguiente secuencia encuentra la relación de recurrencia y las condiciones iniciales:
3, 6, 9, 15, …

5) Determina una fórmula explícita para el número de movimientos de n discos, Cn, para el problema de las Torres de Hanoi