Ejercicios:
Permutaciones y
Combinaciones [Soluciones
(rtf)]:
- •Cuántos
comités diferentes de 3 personas puede haber a partir
de un grupo de 10 individuos?
- •De
cuántas diferentes maneras pueden repartirse 5 cartas a partir
de 52 cartas (pokar)?
- •De
una urna con 10 bolas, 6 rojas y 4 negras, cuántas formas
diferentes existen al extraer 4 bolas, asumiendo que cada
vez que se saca una, se regresa a la urna?
- •Cuántos
comités de 3 estudiantes se pueden generar en el grupo
(40 h, 20 m) si en el comité debe haber al menos un hombre
y una mujer?
- •Genera
todas la permutaciones para 5 elementos (en orden lexicográfico)
- •Dados
10 problemas, cuántos exámenes diferentes se pueden
generar: (a) no importa el orden de los problemas, (b)
si importa el orden
- •Extiende
el algoritmo para generar permutaciones para r de n
elementos
- •Un
paciente tiene 0, una o dos de 5 posibles enfermedades;
y al menos un síntoma de 10 posibles
síntomas. ¿Cuántas posibles combinaciones de
enfermedades-síntomas puede tener?
- •Un robot
puede observar de 1 a 3 marcas en un mapa con 50
marcas en cierto momento, cuántas posibles combinaciones de
marcas puede observar?
- Determina
los coeficientes del binomio (a+b)5
Probabilidad:
•
1. Al tirar 2 dados (1 al 6 c/u),
que tan probable es que sumen 7?
2. Si tiro una moneda 10 veces,
que tan probable es que salgan 4 águilas?
3. Dada la siguiente tabla de
probabilidades conjuntas, encuentra las siguientes probabilidades:
P(x1), P(y2), P(x1 | y2).
|
y1
|
y2
|
y3
|
x1
|
0.1
|
0.2
|
0.1
|
x2
|
0.3
|
0.1
|
0.2
|
4. En el problema anterior, son x1
y x2 independientes?
5. Alguien tiene una, y solo una,
de dos posibles enfermedades: tifoidea (T) o hepatitis (H). Hay dos
posibles síntomas: dolor de cabeza (D) y fiebre (F), cada uno de
los cuales puede ser verdadero (D, F) o falso (~D, ~F). Dados:
P(T) = 0.6
P(D|T) = 0.7
p(D|~T) = 0.4
P(F|T) = 0.9
P(F|~T) = 0.5
Describe el
espacio de muestreo y completa las tablas de probabilidad.
6. Si generamos en el grupo
un comité al azar de 3 estudiantes, que probabilidad hay de que
haya exactamente una mujer? Al menos una mujer? (asumiendo 60 alumnos,
40 hombres y 20 mujeres)
7. Si asumimos que la estatura de
los estudiantes sigue una distribución gaussiana, con media 1.70
m y desviación estándar 0.10 m, que tan probable es que
haya un estudiante de más de 1.90 m?
8. Demuestra por inducción
la regla de la cadena
9. Que probabilidad hay de obtener
hacer un “full” (de 5 cartas, 3 con el mismo número y 2 con el
mismo número, diferente a las primeras. El poker se puede ver
como 4 clases de elementos (figuras), cada clase numerada del 1 al 13.
10. En cierto lugar el clima se
comporta estadisticamente de la siguiente manera: de 365 dias, 200
soleados, 60 nublados, 40 lluvia, 20 nieva, 20 tormenta, 10 graniza, 10
viento y 5 llovizna:
Si cada día se envia un
mensaje con el clima, que información da para cada tipo de clima?
Cuál es el promedio de bits
de información que da el mensaje?
Grafos:
1) Demuestra el teorema 1
2) Para el siguiente grafo (figura 1), determina:
a)Si existe una trayectoria de Euler
b) Si existe una trayectoria de Hamilton
c) Si el grafo es triangulado
d) Si no es triangulado, hazlo
triangulado
e) Los cliques del grafo
3) Demuestra el teorema 2
4) Para los grafos en la siguiente figura (figura 2):
a) Encuentra los subgrafos de A que
son isomorfos a B
b) Triangula el grafo A y ordena los
nodos de acuerdo a máxima cardinalidad
5) Encuentra la mejor ruta para el
agente viajero en el siguiente mapa (figura 3)
(figuras en la presentación de la clase)
Inducción
y
recursión:
1) Demuestra que todo entero
positivo n mayor a 2 es primo o producto de primos
2) Demostrar que:
12 + 22 + … + n2 = n(n +1)(2n + 1) / 6, para n >= 1
3) Para el problema de las Torres de Hanoi encuentra una
relación de recurrencia para el número de movimientos
para mover n discos del poste 1 al 3
4) Para la siguiente secuencia encuentra la relación de
recurrencia y las condiciones iniciales:
3, 6, 9, 15, …
5) Determina una fórmula explícita para el número
de movimientos de n discos, Cn, para el problema de las
Torres de Hanoi